Mandalas y figuras basadas en la espiral de Arquímedes y la Razón Áurea
Autor: Carlos A. De Castro P.
La espiral de Arquímedes ha sido estudiada desde hace unos 2200 años, está dada por la ecuación en coordenadas polares:
Esa ecuación simplemente nos dice que para un punto cualquiera sobre la espiral su distancia al origen es proporcional al ángulo (en radianes) medido desde el eje x positivo. La gráfica de la espiral más simple de estas es para a = 1 la siguiente:
Nótese cómo esta forma es la misma que la que tiene el caparazón de los caracoles.
Consideremos ahora una sucesión de puntos (x, y) en el plano, donde para un entero n = 0, 1, 2, ... se cumple la relación:
x = n cos( n/a )
y = n sin( n/a )
Con la sucesión anterior crearemos mandalas usando la librería Matplotlib de Python. Para la espiral de Arquímedes con el mismo valor de a cada uno de los puntos de la sucesión se ubica sobre ella, miremos cuando tenemos los primeros 11 puntos:
También miremos cómo se empieza a ver cuando trazamos un segmento de recta entre cada par consecutivo de puntos de la sucesión:
Y cuando le agregamos un segmento de recta desde el origen a cada punto se va creando una forma más curiosa:
A medida que aumentamos la cantidad de puntos a graficar se va aumentando la complejidad de la figura creada:
Las espirales se relacionan también con la Razón Áurea (o el Número Áureo), éste número φ es el siguiente:
φ = ( 1 + √5 )/2
La razón áurea es muy común en la naturaleza desde el crecimiento de las plantas, los caparazones de moluscos hasta la forma de las galaxias y por su belleza implícita es utilizada por los humanos en el Arte y la Arquitectura.
Miremos ahora los mandalas que resultan de diferentes familias de valores para el parámetro, ¡es una belleza matemática! De ahora en adelante consideremos k = 1, 2, 3, ...
Gráfica de puntos para a = 1/φ :
Misma gráfica pero intercalando de color los números pares y los impares de la secuencia:
Sólo graficando los puntos individuales cuando a = 1/φπk :
Puntos y rayos desde el origen para a = 1/k :
Rayos desde el origen y líneas entre puntos consecutivos para el caso anterior:
Rayos desde el origen y segmentos de unión para a = 1/φπk :
Con más cambios en el parámetro a (que no podemos recordar cuál era ya...):
Y ya variando el punto inicial y con varios valores del parámetro tenemos muchos más Mandalas:
Esta publicación muestra dos cosas:
1 - La belleza estética de las matemáticas, siendo el Mundo de las Ideas reflejado en el mundo físico.
2- La utilidad enorme que softwares como Python implican para poder desarrollar todas estas gráficas sin mayor esfuerzo.
Damos asesorías en matemáticas, física e ingeniería.
